Sinossi

La geometria che studiamo oggi fino alle scuole superiori è quella degli "Elementi" di Euclide, così come aggiornati dal matematico del 1800 Legendre. Sono 13 libri con 467 proposizioni, ossia teoremi con le relative dimostrazioni, scritti nel periodo greco classico (IV secolo a.C.). Attualmente, le carenze dell'originale geometria euclidea vengono superate modificando la dimostrazione di alcune proposizioni sulla base di assiomatizzazioni più attuali (Hilbert, approccio metrico di Birkhoff), con speciale attenzione agli assiomi sulla continuità (Archimede, Dedekind). Inoltre, dopo Bolyai e Lobacevskij, si sono consolidate le geometrie non-euclidee, rimanendo irrisolta la problematica del quinto postulato di Euclide, dopo i tentativi del Saccheri. Questo lavoro propone una soluzione al problema del quinto postulato, problema che incide profondamente sull'impostazione e sul significato della geometria euclidea. Se le geometrie non-euclidee rimangono comunque possibili, come ad esempio nella relatività generale, qui se ne propone una profonda revisione delle origini per cui la loro esistenza non è più necessaria. E ciò vale specialmente per la geometria iperbolica.