Sinossi

Questo volume offre un'esposizione organica e progressiva dell'algebra moderna, accompagnando il lettore dalle nozioni fondamentali fino ad alcuni temi classici e più avanzati della disciplina. Il testo è pensato come un percorso unitario, in cui i concetti vengono introdotti con gradualità e continuamente ripresi e approfonditi, mettendo in luce le connessioni interne tra le diverse aree dell'algebra. Dopo una parte introduttiva dedicata al linguaggio matematico di base, alla teoria degli insiemi, alle applicazioni e ai numeri interi, il libro entra nel cuore della teoria dei gruppi. Qui vengono sviluppati i concetti essenziali - gruppi, sottogruppi, omomorfismi, gruppi quoziente - insieme a risultati fondamentali come il teorema di Cayley e i teoremi di Sylow, fino alla classificazione dei gruppi abeliani finiti. Questa prima grande sezione fornisce gli strumenti strutturali che sosterranno tutto il resto del testo. La teoria degli anelli e dei campi costituisce il passo successivo naturale. Vengono introdotti ideali, anelli quoziente e domini euclidei, con particolare attenzione agli anelli di polinomi e alle loro proprietà. Su queste basi si sviluppa lo studio delle estensioni di campo, delle radici dei polinomi e degli elementi fondamentali della teoria di Galois, culminando nei risultati sulla risolubilità per radicali e sui gruppi di Galois sui razionali. Parallelamente, il libro dedica ampio spazio agli spazi vettoriali e alle trasformazioni lineari, affrontando in modo sistematico basi, spazi duali, prodotti scalari, matrici e forme canoniche. Le forme di Jordan e la forma canonica razionale vengono presentate come strumenti centrali per comprendere la struttura degli endomorfismi, insieme allo studio di determinanti, operatori normali e forme quadratiche reali. La parte conclusiva raccoglie alcuni argomenti scelti che completano il quadro teorico, come i campi finiti, il teorema di Wedderburn e risultati classici legati al teorema di Frobenius e ai quaternioni interi. Nel complesso, il testo si propone come un'introduzione solida e rigorosa all'algebra, adatta a studenti universitari, capace di coniugare chiarezza espositiva, profondità teorica e una visione unitaria della materia.